机构退费仲裁程序一般包括以下几个阶段：
受理审查
仲裁机构对申请材料进行审查，决定是否受理仲裁。
组建仲裁庭
仲裁机构根据案件情况组建仲裁庭，由一名或三名仲裁员组成。
开庭审理
仲裁庭与双方当事人约定开庭时间，听取当事人陈述、调查证据。
评议和裁决
仲裁庭对案件进行评议，并作出裁决。
送达裁决
仲裁庭将裁决书送达双方当事人。
裁决具有与法院判决同等的法律效力。
如果遇到机构不退费的情况，消费者可以通过以下方式维权：
投诉调解
请求消费者协会或者依法成立的其他调解组织调解。
行政申诉
向有关行政部门投诉。
提请仲裁
根据与经营者达成的仲裁协议提请仲裁机构仲裁。
提起诉讼
向人民法院提起诉讼。
在提请仲裁时，消费者需要先向仲裁机构提交仲裁申请书，仲裁机构对申请进行审查后决定是否立案。立案后，仲裁庭会组成并开庭审理，最终作出裁决。裁决作出后，仲裁庭将裁决书送达双方当事人。
建议消费者在遇到退费纠纷时，首先尝试与机构协商解决，如果协商无果，再考虑通过法律途径如投诉、调解、仲裁或诉讼来解决。在签订培训合同时，消费者应注意核实确认对方当事人的主体资格，并在合同中明确约定争议解决方式，以便在发生纠纷时能够依法维权。