警察休病假的程序如下：
持有医疗证明
病假需要持有二级（或县级）及以上医院的医疗诊断书作为依据。
按干部管理权限审批
病假申请需要按照干部管理权限进行审批。具体审批流程可能因单位不同而有所差异，但通常需要经过直接上级的批准，并在特殊情况下可能需要更高层级的领导批准。
遵守假期规定
一般情况下，事假不得超过3天，特殊情况可以适当延长，但需要经过审批同意。年休假、探亲假、婚丧假、生育假、子女护理假等国家法定带薪假，休假期间按出勤计，享受正常工资福利待遇。
医疗期规定
根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，警察作为国家公务员，如果因患病或非因工负伤需要停止工作医疗，可以根据实际工作年限和在本单位工作年限，享受三个月到二十四个月的医疗期。
请假手续
请病假时需要填写相关请假表格，并说明事由和请假时间。一般情况下的请假申请由直接上级批准，如果请假时间较长或情况特殊，可能需要更高层级的领导批准。
补办手续
如果因特殊情况未能及时履行请假手续，应当及时补办相关手续。病假到期后如需延期，也需要重新办理相关手续。
综上所述，警察休病假的程序主要包括持有有效的医疗证明、按权限审批、遵守假期规定、了解并遵守医疗期规定、履行请假手续以及及时补办相关手续。