等差数列的中项求和公式是数列求和中的重要结论，适用于项数为奇数的等差数列。以下是详细说明：
一、基本公式
前n项和公式 等差数列前n项和的通用公式为：
$$S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)$$
其中，$a_1$ 是首项，$a_n$ 是第n项，n是项数。
公差与项数的关系
- 通项公式：$a_n = a_1 + （n-1）d$
- 项数公式：$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$
- 当公差d=1时，$S_n = \frac{（a_1 + a_n） \times n}{2}$。
二、特殊性质与拓展
等差中项性质
若n为奇数，数列的中间项$a_{\frac{n+1}{2}}$满足：
$$a_{\frac{n+1}{2}} = \frac{a_1 + a_n}{2}$$
例如，数列1, 3, 5, 7, 9中，$a_3 = 5$是中间项，且$2a_3 = a_1 + a_5$。
项数与求和的关系
- 若$m+n=p+q$，则$a_m + a_n = a_p + a_q$
- 若$m+n=2p$，则$a_m + a_n = 2a_p$。
奇数项与偶数项求和
- 奇数项和：$S_{2n-1} = n \times a_n$
- 偶数项和：$S_{2n} = \frac{n}{2} \times （a_1 + a_{2n}）$。
三、应用示例
例1： 求等差数列1, 3, 5, 7, 9的前5项和。- 这里$n=5$，$a_1=1$，$a_5=9$，代入公式： $$S_5 = \frac{5}{2} \times (1 + 9) = \frac{5 \times 10}{2} = 25$$ 或利用中间项：$S_5 = 5 \times a_3 = 5 \times 5 = 25$。 例2
公差$d=a_4-a_2=7-3=2$
首项$a_1=a_2-d=3-2=1$
代入求和公式：$S_6 = \frac{6}{2} \times （1 + 13） = 3 \times 14 = 42$。
四、注意事项
公式仅适用于项数为奇数的等差数列。若项数为偶数，需先判断是否满足$m+n=p+q$等性质再应用。- 若数列项数未知，可通过$a_n=a_1+（n-1）d$反推n。
通过以上公式与性质，可高效计算等差数列的和，并解决相关应用问题。