正方形的面积计算公式及相关信息如下：
一、面积公式
正方形的面积等于边长的平方，用字母表示为：
$$S = a \times a = a^2$$
其中，$S$ 表示面积，$a$ 表示正方形的边长。
二、公式推导
基本定义
正方形是四条边相等且四个角为直角的四边形，即特殊的平行四边形和长方形。
对角线公式
正方形的对角线相等且互相垂直平分，设对角线长度为 $d$，则：
$$d = a\sqrt{2}$$
由此可得面积公式：
$$S = \frac{d^2}{2} = \frac{(a\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2$$。
三、判定定理
正方形可通过以下条件判定：
1. 一组邻边相等的矩形；
2. 一个角为直角的菱形；
3. 对角线相等且互相垂直平分的四边形。
四、应用示例
计算面积
若正方形边长为 9 分米，则面积为：
$$S = 9 \times 9 = 81 \text{ 平方分米}$$。
实际问题
例如，正方形茶几面面积为 25 平方分米，换算成平方厘米为：
$$25 \text{ 平方分米} = 25 \times 100 = 2500 \text{ 平方厘米}$$。
五、总结
正方形面积的核心公式为 $S = a^2$，其特殊性源于它同时具备矩形和菱形的性质。掌握此公式并结合几何特征，可解决多种实际问题。