待定系数法是一种通过设定含有待定系数的多项式恒等式，利用系数比较或特殊值代入的方法，求解未知系数的因式分解技术。以下是具体步骤和要点：
一、适用条件
适用于多项式因式分解中包含二次项和一次项的情况，例如 $ax^2 + bx + c$ 形式的多项式。
二、基本步骤
设定分解形式 假设多项式 $ax^2 + bx + c$ 可分解为 $（x + m）（x + n）$，展开后得到 $x^2 + （m+n）x + mn$。
比较系数
将展开式与原多项式对比，得到以下关系式：
- $a = 1$（二次项系数）
- $b = m + n$（一次项系数）
- $c = mn$（常数项）。
求解待定系数
通过解方程组或特殊值代入法，求出 $m$ 和 $n$ 的值。例如：
- 若 $a = 1$，$b = 5$，$c = 6$，则需解方程组 $\begin{cases} m + n = 5 \\ mn = 6 \end{cases}$，解得 $m = 2$，$n = 3$。
验证结果
将求得的 $m$ 和 $n$ 代入分解式，验证是否与原多项式一致。
三、注意事项
方程组检验： 当方程个数多于未知数时，需代入多余方程逐一检验，确保解的唯一性。 特殊值代入
分解形式假设：对于高次多项式（如三次及以上），需根据次数特点假设因式形式（如一次二项式乘二次三项式）。
四、示例
分解因式 $x^2 - 5x + 6$：
1. 设 $（x + m）（x + n） = x^2 - 5x + 6$
2. 比较系数得 $m + n = -5$，$mn = 6$
3. 解得 $m = -2$，$n = -3$
4. 最终分解为 $（x - 2）（x - 3）$。
五、扩展应用
高次多项式：如 $x^4 - 1$ 可分解为 $（x^2 + 1）（x^2 - 1）$，再进一步分解为 $（x^2 + 1）（x + 1）（x - 1）$。
复杂数字系数：如 $6x^2 + 11x + 3$，通过试根法或待定系数法分解为 $（2x + 3）（3x + 1）$。
待定系数法是因式分解中一种高效的方法，但需结合具体问题选择合适策略，并注意检验解的合理性。