机关劳务派遣程序通常包括以下几个步骤：
业务咨询与资质确认
初步了解双方的合作意向，确认劳务派遣机构的合法资质。
用人单位提出用人需求及标准，劳务派遣机构提供相关服务介绍和解决方案。
制定派遣方案
根据用人单位的要求和现有状况，制定具体的劳务派遣方案。
方案包括派遣人员的招聘、培训、管理等具体细节。
合同签订
用人单位与劳务派遣机构签订《劳务派遣合同》，明确双方的权利和义务。
劳务派遣机构与派遣员工签订《劳动合同》，注明所要派遣到的企业名称及岗位。
实际用人单位与派遣员工签订《上岗协议》，明确双方的劳务关系及岗位职责。
人员派遣与实施
劳务派遣机构根据合同要求，派遣员工到实际用人单位。
员工按照用人单位的安排开始工作，劳务派遣机构负责员工的日常管理和工资发放。
社会保险与福利待遇
劳务派遣机构为派遣员工办理社会保险和住房公积金缴纳。
确保员工的合法权益得到保障。
合同期满与终止
如果合同期满或中止合同，劳务派遣机构与用工单位的劳务关系、劳务派遣机构与被派遣人员的劳动关系相应解除。
法律责任与争议解决
劳务派遣员工发生工伤时，劳务派遣单位与用工单位承担连带赔偿责任。
用人单位需在事故伤害发生之日或被诊断之日起30日内，向劳动保障部门提出工伤认定申请。
以上步骤构成了机关劳务派遣的基本流程，确保整个过程的合法性和规范性。建议在实际操作中，各方应严格遵守相关法律规定，以保障各方的权益。